Math::ReccurenceEquation - 漸化式と特性方程式

現在、後一回の授業で契約終了となってしまう、家庭教師の生徒で浪人生の子がいます。理系の子なので、数学を教えているのですが、今のこの時期になるとセンターレベル以上の内容を教えることになります。久しくしまい込んでいた知識を、脳みその片隅から引っ張り出して授業を進めています。

私は数学が好きですが、専門ではないので得意不得意は往々にしてあります。中でも数列の漸化式は、高校の時に不得意な感があったので、今現在でも食わず嫌いのような状態です。等差数列や等比数列など、数列を習う初期の段階の内容は全く問題がありませんが。漸化式の何が苦手だったかと言いますと、特性方程式がちんぷんかんぷんだったのです。例えば、

an+1 = pan + q

という式がありましたら、まず次の特性方程式を解くでしょう。

x = px + q

…何でやねん！と思ってしまい、ここでしこりが取れず終いでした。特性方程式って何？と思ってしまい、しかし、多分こうしておけばオッケーなんだろう、と思うことにして済ましてしまいました。結果、漸化式を毛嫌いさせてしまうことになりました。

ふと、この漸化式の特性方程式について調べてみたくなって、調べてみました。
(http://yosshy.sansu.org/tokusei.htm)
結局の所、普通にanを等比数列と見なして解こうとしたときと、特性方程式を解くときと、やってることはそんなにかわらないのですね。やっと漸化式の特性方程式というものが腑に落ちました。

漸化式の特性方程式について調べようと思ったのは、自然対数の底について調べたくなったからです。というのも、家庭教師をしているとき、自然対数の底の話が出ると、大抵生徒は疑問な顔をします。得体の知れない物を見ているような気持ちなんでしょうね。かくいう私も、自然対数の底といえば、円周率のように特殊な数である、という程度の認識しか有りませんでした。実はネイピアの数という名前があったとは知りもしませんでした
(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0)。
必要に迫られたときに勉強すると、こういった知識も面白いと感じます。最近はプログラムを作る関係で、プログラムのアルゴリズムの勉強はもちろんのこと、グラフ理論の事も調べたりもします。大学の授業で習ったときは、大して指興味も湧かなかったですけどね。